Identidad de Abel y la formula de suma de Euler
En este vídeo veremos que la formula que demostramos en el vídeo anterior, la identidad de Abel, «contiene» a la formula de suma de Euler. Es decir, que es un caso partícular de la identidad de Abel. Esto nos muestra que la identidad de Abel será una herramienta fuerte para demostrar teoremas en teoría de […]
Identidad de Abel
En este vídeo, vamos a ver una identidad muy importante para teoría de números. La identidad de Abel generaliza la formula de suma de Euler, y además permite demostrar muchos resultados importantes.
Forma asintótica de la suma log(n)/n
En este vídeo seguiremos con las formas asintóticas de distintas sumas. En este caso, veremos la suma del log(n)/n. Seguiremos utilizando la formula de suma de Euler para poder obtener expresiones asintóticas que describan la divergencia de la suma.
Forma asintótica de la función zeta de Riemann para exponentes positivos
En este vídeo seguimos con las formas asintóticas asociadas a la función zeta de Riemann. En esta ocasión, veremos que pasa en los casos que tenemos exponentes positivos. Sabemos que las sumas serán divergentes, pero que característica tendrá la divergencia? En este vídeo analizaremos eso mismo con ayuda de la expresión asintótica de las sumas […]
Forma asintótica del resto de la función zeta de Riemann
En este vídeo continuamos viendo distintas formas asintóticas asociadas a la función zeta de Riemann. En este caso veremos que ocurre con «la parte de atrás» de las sumas parciales. Veremos que esta parte no crece mas rápido que x^(1-s).
Forma asintótica de la suma parcial de la función zeta de Riemann
En este vídeo, continuamos viendo distintas formas asintóticas de sumas. En este caso, veremos como es la forma asintótica de la suma parcial de la función zeta de Riemann, tomando los casos con potencias positivas distintas a 1. Esto continua lo que vimos en el último video, la forma asintótica para la suma parcial de […]
Forma asintótica de la suma armónica
La serie armónica es una de las sumas mas conocidas que divergen. Sin embargo, podemos caracterizar su divergencia. En este vídeo, veremos que la suma parcial, se puede expresar en tres partes. La primera es un logaritmo (parte divergente), luego tendremos una constante, y finalmente, términos que no crecen mas rapido que 1/x.
Existencia de la constante de Euler – Mascheroni
En este vídeo seguimos analizando distintos aspectos de la Constante de Euler-Mascheroni. En este caso demostramos la existencia de este número importante. Esto lo hacemos estudiando la sucesión que define a la constante.
Límite de la suma de (sin(i)/i)/n cuando n tiende a infinito
En este nuevo vídeo, volvemos a meternos con limites interesantes, en este caso involucrando sumas de senos. Resolveremos este curioso límite utilizando logaritmos y también las sumas parciales de la serie Armónica. Pero también aparecerá al vuelo, un número importantisimo, la constante de Euler- Mascheroni.
Fórmula de Leibniz para π
En este vídeo, demostraremos una famosa fórmula para pi en términos de una serie. La formula fue probada por primera vez por Leibniz, aunque la demostración que veremos es distinta. Usaremos dos resultados de dos vídeos anteriores, primero, la derivada del arcotangente y luego la suma que nos daba igual a 1/(1+t^2). Usando esos resultados […]
Las sumas parciales de la serie armónica no son enteros demostración con el postulado de Bertrand
Retomando lo visto en el vídeo anterior, vamos a ver que las sumas parciales de la serie armónica nunca son un número entero, pero ahora la demostración será distinta. Vamos a utilizar el postulado de Bertrand que nos dice que entre cualquier número mayor que 1 y su doble, por lo menos existe un número […]
Las sumas parciales de la serie armónica no son enteros demostración usando potencias de 2
En este vídeo, veremos una característica de la serie armónica. Esta serie diverge, es mas grande que cualquier número, pero lo que demostraremos en este caso es que, si sumamos hasta cualquier número de términos, el resultado nunca es un entero. Hay varias demostraciones, en esta ocasión haremos la que involucra potencias de 2.
La constante de los números primos
En este vídeo veremos una serie convergente que involucra los números primos. Si uno toma la suma infinita de 1/2^n pero solo tomando n=primos, entonces uno obtiene un número que se puede demostrar que es irracional.
Constante de Apéry
Ya hemos visto en otro vídeo el problema de Basilea, una serie infinita cuyo valor es pi al cuadrado divido por seis. Ahora veremos una serie parecida, en vez de tener la serie de 1/n^2 tendremos la de 1/n^3. Veremos que es lo que se sabe sobre esa serie y a lo que converge, la […]
Pór qué la serie geométrica es geométrica?
En este vídeo veremos una explicación gráfica de porque la serie geométrica se llama geométrica y de donde surge su geometría.
Problema de Basilea demostración usando series de Fourier
En este vídeo, veremos otra demostración de un problema que ya hemos visto antes en el canal, la del problema de Basilea. En este caso, llegaremos al valor que converge la serie, utilizando series de Fourier.
Serie de 1/log(n!) y criterio de condensación de Cauchy
En este vídeo veremos una serie infinita que tiene logaritmo y factorial. Para saber si converge o no, utilizaremos el criterio de condensación de Cauchy. Este es un criterio no tan usado para aplicar a series infinitas y verificar su convergencia.
Problema concurso para profesor de análisis
En este vídeo veremos un problema que se dió en concursos para ser profesor de análisis matemático. Para resolverlo, hablaremos de las funciones elementales y no elementales, con sus integrales. Utilizaremos el teorema de Taylor para evitar buscar una primitiva para la integral del problema.
A que converge esta serie??? Serie de Flint Hills
En este vídeo veremos la Serie de Flint Hills, una serie infinita de apariencia sencilla. Sin embargo, ningún método convencional permite demostrar no solo a que converge, sino si converge o no. Esta dificultad esta directamente relacionada con otro problema muy importante sobre el número pi.
Números de Bernoulli
Los números de Bernoulli, son números muy importantes relacionados con distintos temas matemáticos. Aparecen principalmente relacionados con la función zeta de Riemann, dando solución a los casos pares, entre ellos por ejemplo, el problema de Basilea (el caso de s=2).
Serie de los inversos de los números primos diverge
En este vídeo, aprovechando todos los resultados sobre series y productos infinitos vistos en videos anteriores, vamos a demostrar que la serie de los inversos de los números primos diverge, demostrando a su vez que hay infinitos números primos.
Serie absolutamente convergente implica producto convergente
En este video continuamos con el estudio de la convergencia de los productos infinitos. Específicamente, en este caso vamos a obtener un resultado en el cual si sabemos que una serie es absolutamente convergente, entonces tenemos asegurado la convergencia del producto infinito asociado. Una asociación entre sumas infinitas y multiplicaciones infinitas.
Equivalencia entre convergencia de producto infinito y series
Seguimos con los videos sobre productos infinitos, en este caso, demostraremos una equivalencia entre convergencia de productos infinitos y de series infinitas. De esta forma, si tenemos un producto infinito, podemos convertirlo en una serie infinita, y luego utilizar todas las herramientas que tenemos para estudiar la convergencia de una serie infinita.